Question

已知函數(shù)，其中a>0.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若直線是曲線的切線，求實數(shù)a的值；

（Ⅲ）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值（其中e為自然對的底數(shù)）。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2），遞減區(qū)間為（－∞，0）和（2，＋∞）；（Ⅱ）；（Ⅲ）在區(qū)間上的最大值為０．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先對函數(shù)求導(dǎo)，得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，直接讓導(dǎo)函數(shù)大于0，解出大于零的范圍，就求出增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0，解出小于零的范圍，從而求出減區(qū)間；（Ⅱ）直線是曲線的切線，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用切線的斜率即為切點處的導(dǎo)數(shù)值，以及切點即在直線上，又在曲線上，即為的共同點，聯(lián)立方程組，解方程組，即可求實數(shù)的值；（Ⅲ）求在區(qū)間上的最大值，可利用導(dǎo)數(shù)來求，先求出的解析式，由的解析式求出的導(dǎo)函數(shù)，令的導(dǎo)函數(shù)，解出的值，從而確定最大值，由于含有參數(shù)，因此需分情況討論，從而求得其在區(qū)間上的最大值．

試題解析：(Ⅰ）①（）

令，則，又的定義域是

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2），遞減區(qū)間為（－∞，0）和（2，＋∞）（4分）

（II）設(shè)切點為則   解得      7分

（III）      

令，則，

①當時，在單調(diào)增加      9分

②當時，在單調(diào)減少，在單調(diào)增加；

若時，；

若時，；        11分

③當時，在上單調(diào)遞減，；

綜上所述，時，；

時，。        14分

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．