Question

如圖所示，橢圓過(guò)點(diǎn)B(0，

5

)，點(diǎn)F、A分別為橢圓的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)且有

AF

=

FM

=

1

2

FO

．
（1）求橢圓的方程．
（2）若動(dòng)點(diǎn)P（x，y），符合條件：

PM

•

PA

=0，當(dāng)y≠0時(shí)，求證：動(dòng)點(diǎn)P（x，y）一定在橢圓內(nèi)部．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題意確定b=

5

，再由

AF

=

1

2

FO

可以得到a=

3

2

c，最后根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)a²=b²+c²可以求出a，b，c的值，從而確定橢圓方程．
（2）先求出點(diǎn)F，M，A的坐標(biāo)，根據(jù)P滿足條件

PM

•

PA

=0可得到p軌跡方程，然后與橢圓方程聯(lián)立發(fā)現(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，0），又因?yàn)楫?dāng)y≠0時(shí)考慮，故要舍棄，從而得證．

解答：解：（1）依題意得：b=

5

∵

AF

=

1

2

FO

，
∴2（a-c）=c，
∴a=

3

2

c
∵a²=b²+c²，∴c=2
∴a=3，c=2，b=

5

，
故橢圓的方程

x2

9

+

y2

5

=1．

（2）由動(dòng)點(diǎn)P（x，y）符合條件

PM

•

PA

=0，F(xiàn)（2，0）、M（1，0）、A（3，0）
得P（x，y）的軌跡方程：（x-2）²+y²=1，是以F（2，0）為圓心，1為半徑的圓．
聯(lián)立橢圓的方程

x2

9

+

y2

5

=1得：公共點(diǎn)僅為A（3，0）
又y≠0所以A（3，0）舍去，從而該圓始終在橢圓內(nèi)部．
故動(dòng)點(diǎn)P（x，y）一定在橢圓內(nèi)部．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)和動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．橢圓在圓錐曲線中占據(jù)重要的位置，在高考中所占的比重特別大，一定要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．