Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+b（lnx-x），g（x）=-$\frac{1}{2}x$²+（1-b）x，已知曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅲ）若對于任意b∈（1，+∞），總存在x₁，x₂∈[1，b]，使得f（x₁）-f（x₂）-1＞g（x₁）-g（x₂）+m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）=2a=-1，求出a的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，通過討論b的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點(diǎn)即可；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）-g（x），x∈[1，b]，求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，得到F（x）_max-F（x）_min=F（b）-F（1）=blnb-b+1，問題轉(zhuǎn)化為即blnb-b＞m對任意b∈（1，+∞）成立．構(gòu)造函數(shù)：t（b）=blnb-b，b∈[1，+∞），通過討論函數(shù)t（b）的單調(diào)性，求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=2ax+b（{\frac{1}{x}-1}）$，
所以k=f'（1）=2a=-1，所以$a=-\frac{1}{2}$…（2分）
（Ⅱ）$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+b（{lnx-x}）$，其定義域?yàn)椋?，+∞），
$f'（x）=-x+b（{\frac{1}{x}-1}）=\frac{{-{x^2}-bx+b}}{x}$，
令h（x）=-x²-bx+b，x∈（0，+∞）△=b²+4b
（ i）當(dāng)-4≤b≤0時，△=b²+4b≤0，有h（x）≤0，即f'（x）≤0，
所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，
故f（x）在區(qū)間（0，+∞）無極值點(diǎn)；
（ ii）當(dāng)b＜-4時，△＞0，
令h（x）=0，有${x_1}=\frac{{-b-\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$，${x_2}=\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$，x₂＞x₁＞0，
當(dāng)x∈（0，x₁）時，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（0，x₁）上遞減；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，h（x）＞0，即f'（x）＞0，得f（x）在（x₁，x₂）上遞增；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（x₂，+∞）上遞減．
此時f（x）有一個極小值點(diǎn)$\frac{{-b-\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$和一個極大值點(diǎn)$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$．
（ iii）當(dāng)b＞0時，△＞0，
令h（x）=0，有${x_1}=\frac{{-b-\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}＜0$，${x_2}=\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}＞0$，
當(dāng)x∈（0，x₂）時，h（x）＞0，即f'（x）＞0，得f（x）在（0，x₂）上遞增；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（x₂，+∞）上遞減．
此時f（x）唯一的極大值點(diǎn)$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$，無極小值點(diǎn)．
綜上可知，當(dāng)b＜-4時，函數(shù)f（x）有一個極小值點(diǎn)$\frac{{-b-\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$和一個極大值點(diǎn)$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$．
當(dāng)-4≤b≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有無極值點(diǎn)；
當(dāng)b＞0時，函數(shù)f（x）有唯一的極大值點(diǎn)$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$，無極小值點(diǎn)；…（8分）
（ III）令F（x）=f（x）-g（x），x∈[1，b]，
則F（x）=$-\frac{1}{2}{x^2}+b（{lnx-x}）-[{-\frac{1}{2}{x^2}+（{1-b}）x}]$=blnx-x
若總存在x₁，x₂∈[1，b]，使得f（x₁）-f（x₂）-1＞g（x₁）-g（x₂）+m成立，
即總存在x₁，x₂∈[1，b]，使得f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂）+m+1成立，
即總存在x₁，x₂∈[1，b]，使得F（x₁）-F（x₂）＞m+1成立，
即F（x）_max-F（x）_min＞m+1$F'（x）=\frac{x}-1=\frac{b-x}{x}$，
因?yàn)閤∈[1，b]，所以F'（x）≥0，即F（x）在[1，b]上單調(diào)遞增，
所以F（x）_max-F（x）_min=F（b）-F（1）=blnb-b+1，
即blnb-b+1＞m+1對任意b∈（1，+∞）成立，
即blnb-b＞m對任意b∈（1，+∞）成立．
構(gòu)造函數(shù)：t（b）=blnb-b，b∈[1，+∞），t'（b）=lnb，
當(dāng)b∈[1，+∞）時，t'（b）≥0，∴t（b）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴t（b）_min=t（1）=-1．∴對于任意b∈（1，+∞），∴t（b）＞t（1）=-1．
所以m≤-1…（14分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．