Question

（2012•淮北二模）設(shè)f（x）=sin（2x+φ），若f（x）≤f（

π

6

）對(duì)一切x∈R恒成立，則：
①f（-

π

12

）=0；
②f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

5π

12

，0）對(duì)稱；
③f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
④f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）
以上結(jié)論正確的是

①②③

（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可算出函數(shù)表達(dá)式為：f（x）=sin（2x+

π

6

+2kπ）．通過表達(dá)式計(jì)算函數(shù)值，可得①②都是真命題；根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性，結(jié)合函數(shù)奇偶性的圖象特征，可得③是假命題；根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式，計(jì)算得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間不是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z），得④是假命題．

解答：解：∵f（x）≤f（

π

6

）對(duì)一切x∈R恒成立，
∴f（x）=sin（2x+φ）在x=

π

6

時(shí)取得最大值，即2×

π

6

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，得φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，
因此函數(shù)表達(dá)式為：f（x）=sin（2x+

π

6

+2kπ）
因?yàn)閒（-

π

12

）=sin[2×（-

π

12

）+

π

6

+2kπ]=sin2kπ=0，所以①是真命題；
∵f（

5π

12

）=sin（2×

5π

12

x+

π

6

+2kπ）=sin（π+2kπ）=0，
∴x=

5π

12

是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，得點(diǎn)（

5π

12

，0）是函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心，故②是真命題；
∵函數(shù)y=f（x）的圖象既不關(guān)于y軸對(duì)稱，也不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
∴f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，得③是真命題；
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z），故④是假命題．
由以上的討論，可得正確命題為①②③，共三個(gè)
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、圖象的對(duì)稱性、函數(shù)的最值和零點(diǎn)等知識(shí)，屬于中檔題．