Question

求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程：
（1）過點（-3，2）；
（2）焦點在直線x-2y-4=0上．

Answer 1

分析：（1）設所求的拋物線方程為y²=-2px或x²=2py，把點（-3，2）代入即可求得p，則拋物線方程可得，根據(jù)拋物線的性質求得準線方程．
（2）令x=0，y=0代入直線方程分別求得拋物線的焦點，進而分別求得p，則拋物線的方程可得．根據(jù)拋物線的性質求得準線方程．

解答：解：（1）設所求的拋物線方程為y²=-2px或x²=2py（p＞0），
∵過點（-3，2），
∴4=-2p（-3）或9=2p•2．
∴p=

2

3

或p=

9

4

．
∴所求的拋物線方程為y²=-

4

3

x或x²=

9

2

y，前者的準線方程是x=

1

3

，后者的準線方程是y=-

9

8

．
（2）令x=0得y=-2，令y=0得x=4，
∴拋物線的焦點為（4，0）或（0，-2）．
當焦點為（4，0）時，

p

2

=4，
∴p=8，此時拋物線方程y²=16x；
焦點為（0，-2）時，

p

2

=2，
∴p=4，此時拋物線方程為x²=-8y．
∴所求的拋物線的方程為y²=16x或x²=-8y，
對應的準線方程分別是x=-4，y=2．

點評：本題主要考查了拋物線的標準方程．從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一個待定系數(shù)p；從實際分析，一般需確定p和確定開口方向兩個條件，否則，應展開相應的討論．