Question

已知某種稀有礦石的價(jià)值y（單位：元）與其重量ω（單位：克）的平方成正比，且3克該種礦石的價(jià)值為54000元．
（1）寫出y（單位：元）關(guān)于ω單位：克）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若把一塊該種礦石切割成重量比為1：3的兩塊礦石，求價(jià)值損失的百分率；
（3）把一塊該種礦石切割成兩塊礦石時(shí)，切割的重量比為多少時(shí)，價(jià)值損失的百分率最大．（注：價(jià)值損失的百分率=

原有價(jià)值-現(xiàn)有價(jià)值

原有價(jià)值

×100%；在切割過(guò)程中的重量損耗忽略不計(jì)）

Answer 1

分析：（1）價(jià)值y與其重量ω的平方成正比，設(shè)出函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法可以求得；
（2）根據(jù)價(jià)值y與其重量ω的函數(shù)解析式，求出分割前的原有價(jià)值，分割后的現(xiàn)有價(jià)值，代入公式，價(jià)值損失的百分率=

原有價(jià)值-現(xiàn)有價(jià)值

原有價(jià)值

×100%，即得；
（3）由“價(jià)值損失的百分率=

原有價(jià)值-現(xiàn)有價(jià)值

原有價(jià)值

×100%=1-

現(xiàn)有價(jià)值

原有價(jià)值

”；
解法1：若把一塊該種礦石按重量比為m：n切割成兩塊，價(jià)值損失的百分率可以表示出來(lái)，求其最大值，得m，n的關(guān)系；
解法2：若把一塊該種礦石按重量比為x：1切割成兩塊，價(jià)值損失的百分率也可以表示出來(lái)，求其最大值，得x：1的值；
兩種設(shè)法，實(shí)際上是一種解法．

解答：解（1）依題意，設(shè)y=kω²（ω＞0），
當(dāng)ω=3時(shí)，y=54000，代入上式，得：k=6000，
故y=6000ω²（ω＞0）．

（2）設(shè)這塊礦石的重量為a克，由（1）可知，
按重量比為1：3切割后的價(jià)值為；6000(

1

4

a)2+6000(

3

4

a)2，
價(jià)值損失為；6000a2-(6000(

1

4

a)2+6000(

3

4

a)2)，
價(jià)值損失的百分率為；

6000a2-[6000( 1 4 a)2+6000( 3 4 a)2]

6000a2

×100%=37.5%．

（3）解法1：若把一塊該種礦石按重量比為m：n切割成兩塊，價(jià)值損失的百分率應(yīng)為；1-[(

m

m+n

)2+(

n

m+n

)2]=

2mn

(m+n)2

，又

2mn

(m+n)2

≤

2•( m+n 2 )2

(m+n)2

=

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào)，即重量比為1：1時(shí)，價(jià)值損失的百分率達(dá)到最大．
解法2：設(shè)一塊該種礦石切割成兩塊，其重量比為x：1，則價(jià)值損失的百分率為；1-[(

x

1+x

)2+(

1

1+x

)2]=

2x

x2+2x+1

，又x＞0，∴x²+1≥2x，
故

2x

x2+2x+1

≤

2x

2x+2x

=

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立．
答：（1）函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=6000ω²（ω＞0）；
（2）價(jià)值損失的百分率為37.5%；
（3）故當(dāng)重量比為1：1時(shí)，價(jià)值損失的百分率達(dá)到最大．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)建立函數(shù)模型，考查正比例函數(shù)；通過(guò)所給公式，求價(jià)值損失率；通過(guò)求價(jià)值損失的百分率的最大值，考查基本不等式，屬于綜合性題目．