Question

已知橢圓的離心率，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓的上頂點(diǎn)，且滿足         （1）求橢圓C的方程；

    （2）是否存在直線，當(dāng)直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)時(shí)，使點(diǎn)F恰為的垂心（三角形三條高的交點(diǎn)）？若存在，求出直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，△不存在，故舍去．

當(dāng)時(shí)，所求直線存在，且直線的方程為．

【解析】第一問(wèn)中利用根據(jù)題意得，，，，

，，

，又，

第二問(wèn)中，假設(shè)存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且為△的垂心，

設(shè)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912035485889154/SYS201207091204557338592481_DA.files/image025.png">，，故．                     …………7分

于是設(shè)直線的方程為，

由得，結(jié)合韋達(dá)定理并由題意應(yīng)有，又，得到結(jié)論。

 

解：根據(jù)題意得，，，，

，，

，又，

故橢圓方程為．    　　　　                …………5分

（Ⅱ）假設(shè)存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且為△的垂心，

設(shè)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912035485889154/SYS201207091204557338592481_DA.files/image025.png">，，故．                     …………7分

于是設(shè)直線的方程為，

由得．

由，得， 且,．    ……9分

由題意應(yīng)有，又，

故，

得．

即．

整理得．

解得或．                               …………11分

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，△不存在，故舍去．

當(dāng)時(shí)，所求直線存在，且直線的方程為．

                                                     …………12分