Question

如圖，已知三角形ABC內(nèi)接于圓O，AB為圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，CD⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=

3

2

．
（Ⅰ）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（Ⅱ）當(dāng)AC=x時(shí)，V（x）表示三棱錐A-CBE的體積，當(dāng)V（x）取最大值時(shí)，求三角形ABD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得DC⊥BC，BC⊥AC，從而BC⊥平面ACD，由此能證明DE⊥平面ADE．
（2）由BE⊥平面ABC，BE=

3

，由BC=

4-x2

（0＜x＜2），得S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

x

4-x2

，從而V（x）=VA-CBE=

1

3

S△ABC•BE≤

3

3

，當(dāng)V（x）取得最大值時(shí)，AC=

2

，由此能求出等腰三角形ABD的面積．

解答： （Ⅰ）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形，
∴CD∥BE，BC∥DE，
∵CD⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=

3

2

，
BC?平面ABC，∴DC⊥BC，
∵AB為圓O的直徑，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C，
∴BC⊥平面ACD，
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，
又DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．
（2）解：∵DC⊥平面ABC，CD∥BE，
∴BE⊥平面ABC，
在Rt△ABE中，由tan∠EAB=

BE

AB

=

3

2

，AB=2，得BE=

3

，
在Rt△ABC中，∵BC=

AB2-AC2

=

4-x2

（0＜x＜2），
S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

x

4-x2

，
∴V（x）=VA-CBE=

1

3

S△ABC•BE
=

3

6

•

x2(4-x2)

≤

3

6

•

x2+(4-x2)

2

=

3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=4-x²，即x=

2

∈（0，2）時(shí)，“=”成立．
即當(dāng)V（x）取得最大值時(shí)，AC=

2

，
這時(shí)△ABC為等腰直角三角形，
在直角三角形ACD和BCD中，由已知得AD=BD=

5

，
∴等腰三角形ABD，面積S=

1

2

×2×2=2．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐體積最大時(shí)，三角形面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．