Question

7．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力與老師的授課時(shí)間有關(guān)，開始授課時(shí)，學(xué)生的注意力逐漸集中，到達(dá)理想的狀態(tài)后保持一段時(shí)間，隨后開始逐漸分散．用f（x）表示學(xué)生的注意力，x表示授課時(shí)間（單位：分），實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明f（x）與x有如下的關(guān)系：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5x+9，（0＜x＜10）}\\{59，（10＜x≤16）}\\{-3x+107，（16＜x≤30）}\end{array}\right.$．
（1）開始授課后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能維持多長的時(shí)間？
（2）若講解某一道數(shù)學(xué)題需要55的注意力以及10分鐘的時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需注意力的狀態(tài)下講完這道題？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）在各段上的單調(diào)性可判斷計(jì)算出答案．
（2）解不等式求出學(xué)生注意力不低于55的持續(xù)時(shí)間即可．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，f（x）是增函數(shù)，f_max（x）=f（10）=59，
當(dāng)16＜x≤30時(shí)，f（x）是減函數(shù)，f（x）＜f（16）=59．
∴開始授課10分鐘后，學(xué)生的注意力最集中，能維持6分鐘．
（2）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，令f（x）=5x+9≥55，解得$\frac{46}{5}$≤x≤10．
當(dāng)10＜x≤16時(shí)，f（x）=59＞55．
當(dāng)16＜x≤30時(shí)，令f（x）=-3x+107≥55，解得16＜x≤$\frac{52}{3}$．
∴學(xué)生注意力不低于55的持續(xù)時(shí)間為$\frac{52}{3}$-$\frac{46}{5}$=$\frac{122}{15}$＜10．
∴老師能不能在學(xué)生一直達(dá)到所需注意力的狀態(tài)下講完這道題．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想．屬于基礎(chǔ)題．