Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為， 且成等差數(shù)列。

（1證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)；

（2）設(shè)，且，證明。

（3）在（2）小問(wèn)的條件下，若對(duì)任意的，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）.

【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，由 ，作差可得兩邊同時(shí)除以即可構(gòu)造新數(shù)列求解了；

（2）由（1）有，即可采用裂項(xiàng)相消的方法求和得即可證明

；

（3）恒成立時(shí)，即（）恒成立，令，討論求解即可.

試題解析：

（1）在中

令，得即，①

令，得即，②

又，③

則由①②③解得，

當(dāng)時(shí)，由 ，得到

則

又，則

是以為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，

，即

（2），則

則

.

（3）當(dāng)恒成立時(shí)，即（）恒成立.

設(shè)（），

當(dāng)時(shí)， 恒成立，則滿(mǎn)足條件；

當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立；

當(dāng)時(shí)，由于對(duì)稱(chēng)軸 ，則在上單調(diào)遞減，

恒成立，則滿(mǎn)足條件，

綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.