如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分別為AA1、B1C的中點,DE⊥平面BCC1

(1)證明:AB=AC
(2)設二面角A-BD-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小
(1)詳見解析,(2)

試題分析:(1)證明AB=AC,往往轉化為證明對應線段垂直,即證邊上中線垂直.取BC中點F,連接EF,AF,易得ADEF為平行四邊形,從而AF//DE. 又DE⊥平面,可得AF⊥BC.(2)求直線與平面所成角的關鍵在于找面的垂線.而面的垂線,往往從面面垂直的性質定理中取到.觀察圖形可知,BC⊥平面DEF,從而平面BCD⊥平面DEF.過作兩平面的交線的垂線就是平面BCD的垂線.因為本題三維垂直關系已知,所以也可利用空間向量進行求解.已知條件的二面角與所求線面角有一個相同的平面,這也簡化了運算量.
試題解析:

解法一:(1)取BC中點F,連接EF,則EF,從而EFDA。
連接AF,則ADEF為平行四邊形,從而AF//DE。又DE⊥平面,故AF⊥平面,從而AF⊥BC,即AF為BC的垂直平分線,所以AB=AC。       5分
(2)作AG⊥BD,垂足為G,連接CG。由三垂線定理知CG⊥BD,故∠AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設知,∠AGC=600..
設AC=2,則AG=。又AB=2,BC=,故AF=。
得2AD=,解得AD=。       9分
故AD=AF。又AD⊥AF,所以四邊形ADEF為正方形。
因為BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF。
連接AE、DF,設AE∩DF=H,則EH⊥DF,EH⊥平面BCD。
連接CH,則∠ECH為與平面BCD所成的角。.   
因ADEF為正方形,AD=,故EH=1,又EC==2,
所以∠ECH=300,即與平面BCD所成的角為300.        12分
解法二:

(1)以A為坐標原點,射線AB為x軸的正半軸,建立如圖所示的直角坐標系A—xyz。
設B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),則(1,0,2c),E(,,c).
于是=(,,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面知DE⊥BC, =0,求得b=1,所以    AB=AC。       5分
(2)設平面BCD的法向量
=(-1,1, 0),
=(-1,0,c),故
令x=1,則y=1,z=,=(1,1,).
又平面的法向量=(0,1,0)
由二面角為60°知,=60°,
故 °,求得           9分
于是  , 
,
°
所以與平面所成的角為30°       12分
練習冊系列答案
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