lim
n→∞
1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
1-
1
2
+
1
22
-…+(-1)n•
1
2n
=
 
．
分析：根據(jù)題意，分2種情況，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原式=
lim
n→∞
1×(1-(
1
2
)n)
1-
1
2
(1+
1
22
+
1
24
+…+
1
2n
) -(
1
2
+
1
23
+…+
1
2n-1
)   
；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
原式=
lim
n→∞
1-
1
2n
1-
1
2
(1+
1
22
+
1
24
+…+
1
2n-1
) -(
1
2
+
1
23
+…+
1
2n
)    
．由此可求出
lim
n→∞
1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
1-
1
2
+
1
22
-…+(-1)n•
1
2n
的值．
解答：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
lim
n→∞
1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
1-
1
2
+
1
22
-…+(-1)n•
1
2n

=
lim
n→∞
1×(1-(
1
2
)n)
1-
1
2
(1+
1
22
+
1
24
+…+
1
2n
) -(
1
2
+
1
23
+…+
1
2n-1
)   

=
lim
n→∞
2-
2
2n
1-
1
2
n
2
1-
1
2
-
1
2
(1-
1
2
n
2
)
1-
1
2

=
lim
n→∞
2-
2
2n
2-
2
2
n
2
-1+
1
2
n
2
=2．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
lim
n→∞
1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
1-
1
2
+
1
22
-…+(-1)n•
1
2n

=
lim
n→∞
1-
1
2n
1-
1
2
(1+
1
22
+
1
24
+…+
1
2n-1
) -(
1
2
+
1
23
+…+
1
2n
)    

=
lim
n→∞
2-
2
2n
1-
1
2
n+1
2
1-
1
2
-
1
2
(1-
1
2
n-1
2
)
1-
1
2

=
lim
n→∞
2-
2
2n
2-
2
2
n+1
2
-1+
1
2
n-1
2

=2．
∴
lim
n→∞
1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
1-
1
2
+
1
22
-…+(-1)n•
1
2n
=2．
答案：2
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的極限，解題時(shí)要注意培養(yǎng)計(jì)算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

lim
n→∞
(1+
1
2
)(1+
1
22
)…(1+
1
22n
)=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

lim
n→∞
1+
1
2
+…+
1
2n
1+
1
4
+…+
1
4n
的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計(jì)算：
lim
n→∞
[1-
1
2
+
1
4
-
1
8
+…+(-1)n-1•
1
2n-1
]=
2
3
2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•金山區(qū)二模）計(jì)算：
lim
n→+∞
1+
1
2
+
1
4
+…+
1
2n-1
1-
1
3
+
1
9
+…+(-1)n-1
1
3n-1
=
8
3
8
3
．

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同步練習(xí)冊答案