Question

某單位建造一間地面面積為12米²的背面靠墻的矩形小房子,由于地理位置的限制,房子側面的長度x不得超過a米,房屋正面造價為400元/米²,房屋側面造價為150元/米²,屋頂和地面造價費用合計5 800元,如果墻高為3米,且不計房屋背面的費用.

(1)把房屋總造價y表示成x的函數,并寫出該函數的定義域.

(2)當側面的長度x為多少時,總造價最低?最低總造價是多少?

Answer 1

解析:(1)由題意可得y=3(2x·150+·400)+5 800=900(x+)+5 800(0＜x≤a).

(2)y=900(x+)+5 800≥900·2+5 800=13 000,

當且僅當x=,即x=4時取等號.

若a≥4,當x=4時,y有最小值13 000.

若a＜4,任取x₁、x₂∈(0,a)且x₁＜x₂,

y₁-y₂=900(x₁+)+5 800-900(x₂+)-5 800=900［(x₁-x₂)+16(-)］

=.

∵x₁＜x₂＜a,

∴x₁-x₂＜0,x₁x₂＜a²＜16.

∴y₁-y₂＞0.

∴y=900(x+)+5 800在(0,a)上是減函數.

∴當x=a時,y有最小值900(a+)+5 800.