Question

如圖，在梯形ABCD中，DA=AB=BC=2，CD=4，點(diǎn)P在△BCD的內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動，則

AP

•

BD

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：在梯形ABCD中，DA=AB=BC=2，CD=4，可得∠DAB=120°，BC⊥BD．BD=2

3

．如圖所示，過點(diǎn)A作AO⊥BD，垂足為O．可得

AP

=

AO

+

OP

，

AO

•

BD

=0．于是

AP

•

BD

=(

AO

+

OP

)•

BD

=

OP

•

BD

．由圖可知：當(dāng)點(diǎn)P取點(diǎn)D時(shí)，則

AP

•

BD

取得最大值．當(dāng)點(diǎn)P取BC邊上的任意一點(diǎn)時(shí)，則

AP

•

BD

取得最小值即可得出．

解答： 解：∵在梯形ABCD中，DA=AB=BC=2，CD=4，
∴∠DAB=120°，BC⊥BD．
∴BD=2

3

．
如圖所示，過點(diǎn)A作AO⊥BD，垂足為O．
則

AP

=

AO

+

OP

，

AO

•

BD

=0．
∴

AP

•

BD

=(

AO

+

OP

)•

BD

=

AO

•

BD

+

OP

•

BD

=

OP

•

BD

．
由圖可知：當(dāng)點(diǎn)P取點(diǎn)D時(shí)，則

AP

•

BD

取得最大值=

1

2

BD

2=

1

2

×(2

3

)2=6．
當(dāng)點(diǎn)P取BC邊上的任意一點(diǎn)時(shí)，則

AP

•

BD

取得最小值=-

1

2

BD

2=

1

2

×(2

3

)2=-6．
∴則

AP

•

BD

的取值范圍是[-6，6]．
故答案為：[-6，6]．

點(diǎn)評：本題考查了向量的數(shù)量積定義及其性質(zhì)、投影的定義、向量的三角形法則、等腰梯形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．