Question

設(shè)f₁（x）=cosx，定義f_n+1（x）為f_n（x）的導(dǎo)數(shù)，即f_n+1（x）=f′_n（x）n∈N^*，若△ABC的內(nèi)角A滿足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=

1

3

，則sin2A的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知分別求出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），可得從第五項(xiàng)開始，f_n（x）的解析式重復(fù)出現(xiàn)，每4次一循環(huán)，結(jié)合f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=

1

3

求出cosA，進(jìn)一步得到sinA，則答案可求．

解答： 解：∵f₁（x）=cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=cosx，
…
從第五項(xiàng)開始，f_n（x）的解析式重復(fù)出現(xiàn)，每4次一循環(huán)．
∴f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0．
∴f₂₀₁₃（x）=f_4×503+1（x）=f₁（x）=cosx．
∵f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=

1

3

．
∴cosA=

1

3

．
∵A為三角形的內(nèi)角，
∴sinA=

2 2

3

．
∴sin2A=2sinAcosA=

4 2

9

．
故答案為：

4 2

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算，關(guān)鍵是找到函數(shù)解析式規(guī)律性，是中檔題．