Question

如圖，在四棱錐中，底面，， ，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）取中點(diǎn)，連接.證四邊形為平行四邊形可得.通過(guò)證平面，可得，又，所以；

（2）由（1）及已知可證平面平面，所以可得直線在平面內(nèi)的射影必為，解三角形可得與平面所成的角的正切值為。

試題解析：（1）如圖，取中點(diǎn)，連接.

由于分別為的中點(diǎn)， 故，且，又由已知，可得且，故四邊形為平行四邊形，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032606055064447986/SYS201503260606101138710172_DA/SYS201503260606101138710172_DA.026.png">底面，故，而，從而平面，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032606055064447986/SYS201503260606101138710172_DA/SYS201503260606101138710172_DA.030.png">平面，于是，又，所以.

（2）連接，由（Ⅰ）有平面，得，

而，故.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032606055064447986/SYS201503260606101138710172_DA/SYS201503260606101138710172_DA.038.png">，為的中點(diǎn)，故，從而，所以平面，

故平面平面.

所以直線在平面內(nèi)的射影為直線，

而，可得為銳角，

故為直線與平面所成的角.

依題意，有，而為中點(diǎn)，可得，進(jìn)而.

故在直角三角形中，

所以直線與平面所成的角的正切值為

考點(diǎn)：線線、線面、面面平行、垂直的判定與性質(zhì)，求線面角。