（2013•合肥二模）已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長為4，且過點（
3
，
1
2
）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B，M是橢圓上的三點．若
OM
=
3
5
OA
+
4
5
OB
，點N為線段AB的中點，C（-
6
2
，0），D（
6
2
，0），求證：|NC|+|ND|=2
2
．
分析：（I）利用橢圓長軸長為4，且過點（
3
，
1
2
），求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（II）證明線段AB的中點N在橢圓
x2
2
+2y2=1上，利用橢圓的定義，即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：由題意：2a=4，所以a=2，
∵橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1過點（
3
，
1
2
），
∴
3
4
+
1
4b2
=1
∴b2=1
∴所求橢圓方程為
x2
4
+y2=1；
（II）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則
x12
4
+y12=1，
x22
4
+y22=1
∵
OM
=
3
5
OA
+
4
5
OB
，
∴M（
3
5
x1+
4
5
x2，
3
5
y1+
4
5
y2）
∴
(
3
5
x1+
4
5
x2)2
4
+(
3
5
y1+
4
5
y2)2=1
∴
x1x2
4
+y1y2=0
∵點N為線段AB的中點
∴N（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
）
∴
(
x1+x2
2
)2
2
+2(
y1+y2
2
)2=
1
2
(
x12
4
+y12)+
1
2
(
x22
4
+y22)+
x1x2
4
+y1y2=1
∴線段AB的中點N在橢圓
x2
2
+2y2=1上
∵橢圓
x2
2
+2y2=1的兩焦點為C（-
6
2
，0），D（
6
2
，0），
∴|NC|+|ND|=2
2
．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓定義的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
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-2+i
1+i
=（　�。�

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（　�。�

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m
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n
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m
+
n
|的取值范圍．

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x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（-c，0）（c＞0），作傾斜角為
π
6
的直線FE交該雙曲線右支于點P，若
OE
=
1
2
（
OF
+
OP
），且
OE
•
EF
=0則雙曲線的離心率為（　�。�

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