Question

13．已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|+b．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在a∈[-3，5]，使得函數(shù)f（x）在[-4，5]上恒有三個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x+b，x≥2\\-{x^2}+2x+b，x＜2\end{array}\right.$，從而結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性判斷分段函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）原命題可化為存在a∈[-3，5]，使得b=-x|x-a|有三個(gè)不同的實(shí)根；再令$g（x）=-x|{x-a}|=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+ax，x≥a\\{x^2}-ax，x＜a\end{array}\right.$，從而分類(lèi)討論以確定g（x）的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的極值及端點(diǎn)的函數(shù)值，從而比較求b的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x+b，x≥2\\-{x^2}+2x+b，x＜2\end{array}\right.$，
由二次函數(shù)的單調(diào)性知，
f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，在[2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）若存在a∈[-3，5]，使得函數(shù)f（x）在[-4，5]上恒有三個(gè)零點(diǎn)，
則存在a∈[-3，5]，使得b=-x|x-a|有三個(gè)不同的實(shí)根；
令$g（x）=-x|{x-a}|=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+ax，x≥a\\{x^2}-ax，x＜a\end{array}\right.$，
（�。┊�(dāng)a=0時(shí)，g（x）在[-4，5]上單調(diào)遞減，故b無(wú)解；
（ⅱ）當(dāng)-3≤a＜0時(shí)，g（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞減，在$[{a，\frac{a}{2}}]$上單調(diào)遞增，在$（{\frac{a}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞減，
∵g（-4）=4|4+a|=16+4a，g（a）=0，$g（\frac{a}{2}）=\frac{a^2}{4}$，g（5）=5a-25，
∴$g（-4）-g（\frac{a}{2}）=\frac{{-{{（a-8）}^2}+128}}{4}＞0$，g（a）-g（5）=25-5a＞0，
∴$0＜b＜\frac{a^2}{4}$，
∴$0＜b＜\frac{9}{4}$；
（ⅲ）當(dāng)0＜a≤5時(shí)，g（x）在$（{-∞，\frac{a}{2}}）$上單調(diào)遞減，在$[{\frac{a}{2}，a}）$上單調(diào)遞增，在[a，+∞）上單調(diào)遞減，
∵g（-4）=4|4+a|=16+4a，$g（\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}$，g（a）=0，g（5）=5a-25∴g（-4）-g（a）=16+4a＞0，
令g（$\frac{a}{2}$）-g（5）=$\frac{-（a+10）^{2}+200}{4}$=0，解得，a=10$\sqrt{2}$-10；
①當(dāng)$0＜a≤10\sqrt{2}-10$時(shí)，
$-\frac{a^2}{4}＜b＜0$，∴$50\sqrt{2}-75＜b＜0$；
②當(dāng)$10\sqrt{2}-10＜a≤5$時(shí)，
5a-25≤b＜0，∴$50\sqrt{2}-75≤b＜0$；
綜上可得，
b的取值范圍為50$\sqrt{2}$-75≤b＜$\frac{9}{4}$且b≠0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及二次函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想應(yīng)用．