Question

面積為S的△ABC的三邊a，b，c成等差數(shù)列，∠B=60°，b=4，設(shè)△ABC外接圓的面積為S′，則S′：S=    ．

Answer 1

【答案】分析：由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，把b的值代入求出a+c的值，利用余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，將b和cosB的值代入，并利用完全平方公式變形后，把a+c的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形的面積公式求出三角形ABC的面積S，由b和sinB的值，利用正弦定理求出三角形外接圓的半徑，利用圓的面積公式求出三角形ABC外接圓的面積S′，進(jìn)而求出兩面積之比．
解答：解：∵△ABC的三邊a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，
將b=4代入得：a+c=8，
又cosB=，
根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：
16=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=64-3ac，
∴ac=16，又∠B=60°，
∴△ABC的面積S=acsinB=4，
由正弦定理=2R（R為三角形外接圓半徑）得：R==，
∴△ABC外接圓的面積為S′=πR²=，
則S′：S=π：4=π．
故答案為：π
點評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形的面積公式，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．