Question

某市A、B、C、D四所中學報名參加某高校今年自主招生的學生人數(shù)如表所示：

中學	A	B	C	D
人數(shù)	30	40	20	10

為了了解參加考試的學生的學習狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報名參加考試的四所中學的學生當中隨機抽取50名參加問卷調(diào)查．
（Ⅰ）問A，B，C，D，四所中學各抽取多少名學生？
（Ⅱ）在參加問卷調(diào)查的50名學生中，從來自A，C兩所中學的學生當中隨機抽取兩名學生，用ξ表示抽得A中學的學生人數(shù)，求ξ的分布列，數(shù)學期望和方差．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,分層抽樣方法,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由題意知，四所中學報名參加該高校今年自主招生的學生總?cè)藬?shù)為100名，抽取的樣本容量與總體個數(shù)的比值為

50

100

=

1

2

．由此能求出應從A，B，C，D四所中學抽取的學生人數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=log

1

2

an名學生中，來自a₁兩所中學的學生人數(shù)分別為a₂．依題意得，{b_n}的可能取值為c_n+1-c_n=b_n，c₁=0，由此能求出ξ的分布列，數(shù)學期望和方差．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，四所中學報名參加該高校今年自主招生的學生總?cè)藬?shù)為100名，
抽取的樣本容量與總體個數(shù)的比值為

50

100

=

1

2

．
∴應從A，B，C，D四所中學抽取的學生人數(shù)分別為15，20，10，5．  …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=log

1

2

an名學生中，
來自a₁兩所中學的學生人數(shù)分別為a₂．
依題意得，{b_n}的可能取值為c_n+1-c_n=b_n，c₁=0，…（5分）
n≥2，n∈N*，

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜

3

4

，
P（ξ=0）=

C 2 10

C 2 25

=

3

20

，
P(ξ=1)=

C 1 15 C 1 10

C 2 25

=

1

2

，
P(ξ=2)=

C 2 15

C 2 25

=

7

20

．…（8分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	3 20	1 2	7 20

∴Eξ=0×

3

20

+1×

1

2

+2×

7

20

=

6

5

． …（10分）
Dξ=（0-

6

5

）²•

3

20

+（1-

6

5

）²•

1

2

+（2-

6

5

）²•

7

20

=

23

50

．…（12分）

點評：本題考查四所中學各抽取多少名學生的求法，考查離散型隨機變量的分布列、期望和方差的求法，解題時要認真審題，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．