Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和滿足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足，并記T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：3T_n+1＞log₂（a_n+3），n∈N^*．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)題設(shè)求得a₁，進(jìn)而根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0求得a_n+1-a_n=3，判斷出{a_n}是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可得．
（2）把（1）中的a_n代入可求得b_n，進(jìn)而求得前n項(xiàng)的和T_n，代入到3T_n+1-log₂（a_n+3）中，令，進(jìn)而判斷出f（n+1）＞f（n），從而推斷出3T_n+1-log₂（a_n+3）=log₂f（n）＞0，原式得證．
解答：解：（1）由，解得a₁=1或a₁=2，由假設(shè)a₁=S₁＞1，因此a₁=2，
又由，
得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，
即a_n+1-a_n-3=0或a_n+1=-a_n，因a_n＞0，故a_n+1=-a_n不成立，舍去
因此a_n+1-a_n=3，從而{a_n}是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，
故{a_n}的通項(xiàng)為a_n=3n-1
證明：由可解得；
從而
因此
令，則、
因（3n+3）³-（3n+5）（3n+2）²=9n+7＞0，故f（n+1）＞f（n）
特別地，從而3T_n+1-log₂（a_n+3）=log₂f（n）＞0、
即3T_n+1＞log₂（a_n+3）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．涉及了不等式的證明，綜合考查了學(xué)生對(duì)數(shù)列知識(shí)的靈活運(yùn)用．