分析:(I)由已知中在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為DD1、DB的中點我們可由B1C⊥AB,B1C⊥BC1,得到B1C⊥平面ABC1D1,進而B1C⊥BD1,再由中位線定理即可得到EF⊥B1C;
(II)CF⊥BD,DD1⊥CF,結合線面垂直的判定定理可得DD1⊥平面ABCD,進而可得CF⊥平面BDD1B1,則∠EFD為二面角E-FC-D的平面角,解三角形EFD,即可求出二面角E-FC-D的正切值;
(III)由VF-EDC=VE-FDC,我們求出三棱錐的底面面積和高,代入棱錐的體積公式,即可得到答案.
解答:證明:(I)由正方體的幾何特征可得:
∵B
1C⊥AB,B
1C⊥BC
1,AB∩B
1C=B
∴B
1C⊥平面ABC
1D
1,
∴B
1C⊥BD
1,
又∵EF∥BD
1,
∴EF⊥B
1C.…(6分)
(II)∵點F為DB的中點,且ABCD為正方形,
∴CF⊥BD.
又DD
1⊥平面ABCD,
∴DD
1⊥CF.
而DD
1∩DB=D,
∴CF⊥平面BDD
1B
1.
又EF?平面BDD
1B
1,
∴CF⊥EF,故∠EFD為二面角E-FC-D的平面角.
在Rt△EFD中,DE=1,DF=
,
∴tan∠EFD=
=
.
因而二面角二面角E-FC-D的正切值為
. …(9分)
(III)∵DE=1,FC=DF=
,
∴V
F-EDC=V
E-FDC=
×DE×
×DF×FC=
.
點評:本題考查的知識點是二面角的平面角及求法,棱錐的體積,線面垂直的性質,(I)的關鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的轉化關系,(II)的關鍵是證得∠EFD為二面角E-FC-D的平面角,(III)的關鍵是由VF-EDC=VE-FDC對棱錐進行轉化.