Question

（2012•湛江一模）若直線y=x是曲線y=x³-3x²+px的切線，則實數(shù)p的值為（　�。�

• A．1
• B．0
• C．

  13

  4

• D．1或

  13

  4

Answer 1

分析：由直線與曲線相切，根據(jù)直線已知，即可得出切線斜率，即得出曲線的導(dǎo)數(shù)的方程，再設(shè)出切點坐標(biāo)，利用切點在曲線上，又得到一個方程，兩個方程聯(lián)立求解即可．

解答：解：設(shè)切點P（x₀，x₀）
∵直線y=x是曲線y=x³-3x²+px的切線
∴切線的斜率為1，
∵y=x³-3x²+px，
∴y′︳_x=x0=3x²-6x+p _x=x0=3x₀²-6x₀+p，
根據(jù)切線的幾何意義得：
3x₀²-6x₀+p=1①
∵點P在曲線上，
∴x₀³-3x₀²+px₀=x₀②
由①，②聯(lián)立得

x0=0 3x 2 0 -6x0+p-1=0

③
或

x 2 0 -3x0+p-1=0 3 x 2 0 -6x0+p-1=0

④
由③得，p=1
由④得x₀²-3x₀=3x₀²-6x₀解得x₀=0或

3

2

，把x₀的值代入④中，得到p=1或

13

4

，
綜上所述，p的值為1或

13

4

．
故選D．

點評：本題為直線與曲線相切的試題，此題比較好，設(shè)計的計算比較多，要細(xì)心才能算對，應(yīng)熟練掌握方程聯(lián)立的計算問題等．