Question

已知函數(shù)，．

（Ⅰ）解方程：；

（Ⅱ）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值的表達(dá)式；

（Ⅲ）若，，求 的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ），

或（舍去），

所以．

（Ⅱ），，

令，則，

①當(dāng)時(shí)，，

②當(dāng)時(shí)，，

若，則，

若，當(dāng)，即時(shí)，，

當(dāng)，即時(shí)，，

當(dāng)，即時(shí)，，

綜上，．

（Ⅲ）由題意知：，

所以，

其中，所以，

由知的最大值是，又單調(diào)遞增，

所以．

考點(diǎn)：本題主要考查分段函數(shù)的概念，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，均值定理的應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題綜合考查分段函數(shù)的概念，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，均值定理的應(yīng)用。利用換元思想，將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題，通過變換函數(shù)表達(dá)式，創(chuàng)建應(yīng)用均值定理的條件，體現(xiàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活性。