Question

已知函數(shù)y=f（x）=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

．
（1）設(shè)g（x）=f（x）-1，當(dāng)k＞1時，試求函數(shù)g（x）的值域；
（2）若f（x）的最小值為-3，試求k的值；
（3）若對任意的實數(shù)x₁，x₂，x₃，存在f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊邊長的三角形，試求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出g（x），根據(jù)k＞1即可求出函數(shù)g（x）的值域；
（2）先將f（x）變成：f（x）=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

，所以可設(shè)2x+

1

2x

+1=t，(t≥3)，則得到y(tǒng)=1+

k-1

t

，所以可討論k：k＞1，k=1，k＜1，根據(jù)該函數(shù)的單調(diào)性或y的取值來求k；
（3）由該問的條件知：對任意的x₁，x₂，x₃∈R，都有f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃），所以只要使f（x₃）范圍的右端點值小于等于f（x₁）+f（x₂）的左端點值，而f（x₃），f（x₁）+f（x₂）的范圍由（2）可分三種情況求出，最后求這三種情況下的k的范圍的并集即可．

解答： 解：（1）g（x）=

(k-1)2x

4x+2x+1

；
∵k＞1；
∴g（x）＞0；
∴g（x）的值域為（0，+∞）；
（2）f（x）=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

；
令2x+

1

2x

+1=t，（t≥3），則：y=1+

k-1

t

；
k＞1時，y∈(1，

k+2

3

]，無最小值，舍去；
k=1時，y=1，最小值不是-3，舍去；
k＜1時，y∈[

k+2

3

，1)，∴

k+2

3

=-3，k=-11；
（3）由題意知，對于任意x₁，x₂，x₃∈R，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立；
由（2）得，①k＞1時，2＜f(x1)+f(x2)≤

2k+4

3

，1＜f(x3)≤

k+2

3

；
∴

k+2

3

≤2，k≤4，∴1＜k≤4；
②k=1時，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足條件；
③k＜1時，

2k+4

3

≤f(x1)+f(x2)＜2，

k+2

3

≤f(x3)＜1；
∴1≤

2k+4

3

，k≥-

1

2

，∴-

1

2

≤k＜1；
∴綜上得k的取值范圍為[-

1

2

，4]．

點評：考查函數(shù)值域的概念及求法，換元法解決問題，反比例函數(shù)的單調(diào)性，以及三邊長度滿足什么條件即可構(gòu)成三角形．