Question

如圖，已知雙曲線(xiàn)C₁：

y2

m

-

x2

n

=1（m＞0，n＞0），圓C₂：（x-2）²+y²=2，雙曲線(xiàn)C₁的兩條漸近線(xiàn)與圓C₂相切，且雙曲線(xiàn)C₁的一個(gè)頂點(diǎn)A與圓心C₂關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，設(shè)斜率為k的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)C₂．
（1）求雙曲線(xiàn)C₁的方程；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，在雙曲線(xiàn)C₁的上支上求一點(diǎn)P，使其與直線(xiàn)l的距離為2．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=±

m n

x，由雙曲線(xiàn)C₁的兩漸近線(xiàn)與圓C₂：（x-2）²+y²=2相切及由A（0，

m

）與圓心C₂（2，0）關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，求出m，n的值，從而能求出雙曲線(xiàn)的方程．
（2）當(dāng)k=1時(shí)，由l過(guò)點(diǎn)C₂（2，0）知直線(xiàn)l的方程，設(shè)雙曲線(xiàn)C₁上支上一點(diǎn)P（x₀，y₀）到直線(xiàn)l的距離為2，建立關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的方程組，由此能求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）雙曲線(xiàn)C₁的兩條漸近線(xiàn)方程為：
y=±

m n

x，頂點(diǎn)A為（0，

m

）
∵雙曲線(xiàn)C₁的兩漸近線(xiàn)與圓C₂：（x-2）²+y²=2相切
∴

|±2 m n |

1+ m n

=

2

即

2m

m+n

=1                  ①
又∵A（0，

m

）與圓心C₂（2，0）關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)
∴

m

=2                    ②
由①、②解得：m=n=4
故雙曲線(xiàn)C₁的方程為：y²-x²=4
（2）當(dāng)k=1時(shí)，由l過(guò)點(diǎn)C₂（2，0）知：
直線(xiàn)l的方程為：y=x-2
設(shè)雙曲線(xiàn)C₁上支上一點(diǎn)P（x₀，y₀）到直線(xiàn)l的距離為2，則
y₀²-x₀²=4，且

|x0-y0-2|

2

=2，
又∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在雙曲線(xiàn)C₁的上支上，故y₀＞0
解得：x₀=2，y₀=2

2

．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法和已知k的值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．