Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x（x∈（0，+∞），且f（x）在x₀處取得最小值，則以下各式正確的序號為（　�。�
①f（x₀）＜x₀+1              ②f（x₀）=x₀+1             ③f（x₀）＞x₀+1               ④f（x₀）＜3                    ⑤f（x₀）＞3．

• A． ①④
• B． ②④
• C． ②⑤
• D． ③⑤

Answer 1

分析 求導數(shù)，利用最小值點且為極小值點，即可判斷①②③；利用g（x）=e^x-x-2，x＞0，的零點，由零點判定定理可判斷④⑤．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x（x∈（0，+∞），
可得f′（x）=$\frac{-1-x{e}^{x}}{（{e}^{x}-1）^{2}}$+1=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，
由f（x）在x₀處取得最小值，也為極小值．
即有f′（x₀）=0，即e^x₀=x₀+2，
f（x₀）=$\frac{{x}_{0}+1}{{e}^{{x}_{0}}-1}$+x₀=1+x₀，
即①，③錯誤，②正確；
令g（x）=e^x-x-2，x＞0，
則g（1）=e-1-2=e-3＜0，
g（2）=e²-4＞0，
則g（x）的零點介于（1，2），
則x₀＜2，f（x₀）=1+x₀＜3，
故④正確，⑤錯誤．
即有②④正確．
故選：B．

點評 本題考查導數(shù)知識的應用：求最值，考查函數(shù)零點判定定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，有難度．