Question

9．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\sqrt{\frac{2}{{1+{{sin}^2}θ}}}$，過點(diǎn)P（1，0）的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程的化為普通方程；
（2）求|PA|•|PB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化方法，可得結(jié)論；
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t$為參數(shù)），將$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$得（cos²α+2sin²α）t²+2tcosα-1=0，利用參數(shù)的幾何意義，即可求|PA|•|PB|的取值范圍．

解答 解：（1）由$ρ=\sqrt{\frac{2}{{1+{{sin}^2}θ}}}$得ρ²（1+sin²θ）=2，得曲線C的普通方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）由題意知，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t$為參數(shù)），將$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$得（cos²α+2sin²α）t²+2tcosα-1=0，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則$|{PA}|•|{PB}|=|{{t_1}{t_2}}|=\frac{1}{{{{cos}^2}α+2{{sin}^2}α}}=\frac{1}{{1+{{sin}^2}α}}∈[{\frac{1}{2}，1}]$，
∴|PA|•|PB|的取值范圍為$[{\frac{1}{2}，1}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．