精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),F(xiàn)1、F2分別為橢
圓的左、右焦點,A為橢圓的上頂點,直線AF2交橢圓于另一
點B、
(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;
(2)若
AF2
=2
F2B
AF1
AB
=
3
2
,求橢圓的方程.
分析:(1)根據(jù)∠F1AB=90°推斷出△AOF2為等腰直角三角形,進而可知OA=OF2,求得b和c的關(guān)系,進而可求得a和c的關(guān)系,即橢圓的離心率.
(2)根據(jù)題意可推斷出A,和兩個焦點的坐標(biāo),設(shè)出B的坐標(biāo),利用已知條件中向量的關(guān)系,求得x和y關(guān)于c的表達式,代入橢圓方程求得a和c的關(guān)系,利用
AF1
AB
=
3
2
求得a和c的關(guān)系,最后聯(lián)立求得a和b,則橢圓方程可得.
解答:解:(1)若∠F1AB=90°,則△AOF2為等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=C、
所以a=
2
c,e=
c
a
=
2
2

(2)由題知A(0,b),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),
其中,c=
a2-b2
,設(shè)B(x,y).
AF2
=2
F2B
?(c,-b)=2(x-c,y),解得x=
3c
2

y=-
b
2
,即B(
3c
2
,-
b
2
).
將B點坐標(biāo)代入
x2
a2
+
y2
b2
=1,得
9
4
c2
a2
+
b2
4
b2
=1,
9c2
4a2
+
1
4
=1,
解得a2=3c2.①
又由
AF1
AB
=(-c,-b)•(
3c
2
,-
3b
2
)=
3
2

⇒b2-c2=1,
即有a2-2c2=1.②
由①,②解得c2=1,a2=3,從而有b2=2.
所以橢圓方程為
x2
3
+
y2
2
=1.
點評:本題主要考查了橢圓的應(yīng)用和橢圓的簡單性質(zhì),向量的基本性質(zhì).注意挖掘題意中隱含的條件,充分利用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過點C(
3
2
,
3
2
)
且離心率為
6
3
,A、B是長軸的左右兩頂點,P為橢圓上意一點(除A,B外),PD⊥x軸于D,若
PQ
QD
,λ∈(-1,0)

(1)試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)P在C處時,若∠QAB=2∠PAB,試求過Q、A、D三點的圓的方程;
(3)若直線QB與AP交于點H,問是否存在λ,使得線段OH的長為定值,若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•汕頭一模)如圖.已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的長軸為AB,過點B的直線l與x軸垂直,橢圓的離心率e=
3
2
,F(xiàn)1為橢圓的左焦點且
AF1
F1B
=1.
(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點,PH⊥x軸,H為垂足,延長HP到點Q使得HP=PQ.連接AQ并延長交直線l于點M,N為MB的中點,判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•安徽模擬)如圖,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
3
2
,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點,B為橢圓的上頂點且△BF1F2的周長為4+2
3

(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在這樣的直線使得直線l與橢圓交于M,N兩點,且橢圓右焦點F2恰為△BMN的垂心?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明由..

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•崇明縣二模)如圖,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),M為橢圓上的一個動點,F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點,A、B分別為橢圓的一個長軸端點與短軸的端點.當(dāng)MF2⊥F1F2時,原點O到直線MF1的距離為
1
3
|OF1|.
(1)求a,b滿足的關(guān)系式;
(2)當(dāng)點M在橢圓上變化時,求證:∠F1MF2的最大值為
π
2

(3)設(shè)圓x2+y2=r2(0<r<b),G是圓上任意一點,過G作圓的切線交橢圓于Q1,Q2兩點,當(dāng)OQ1⊥OQ2時,求r的值.(用b表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過點(1,
2
2
)
,離心率為
2
2
,左、右焦點分別為F1、F2.點P為直線l:x+y=2上且不在x軸上的任意一點,直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D,O為坐標(biāo)原點.設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2
(Ⅰ)證明:
1
k1
-
3
k2
=2

(Ⅱ)問直線l上是否存在點P,使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0?若存在,求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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同步練習(xí)冊答案