Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=

1-2x

a+2x+1

是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得函數(shù)的定義域是R是奇函數(shù)，把f（-1）=-f（1），代入可得a的值．
（2）由（1）可得 f(x)=

1-2x

2+2x+1

在它的定義域是R是減函數(shù)，且是奇函數(shù)，不等式化為f（mt²+1）＜f（mt-1），可得 mt²-mt+2＞0，分m=0和m≠0兩種情況分別求出實數(shù)m的
取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得函數(shù)的定義域是R且函數(shù)是奇函數(shù)，把f（-1）=-f（1），代入可得：a=2．
（2）由（1）可得 f(x)=

1-2x

2+2x+1

在它的定義域是R是減函數(shù)，且是奇函數(shù)，則不等式 f（mt²+1）+f（1-mt）＜0 可化為：
f（mt²+1）＜-f（1-mt），即 f（mt²+1）＜f（mt-1），
∴mt²+1＞mt-1，mt²-mt+2＞0．-----（*）
①若m=0，（*）式對一切實數(shù)顯然成立；
②若m≠0，則：m＞0且（-m）²-8m＜0，解得：0＜m＜8．
從而，實數(shù)m的取值范圍是：0≤m＜8，故實數(shù)m的取值范圍[0，8）．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．