Question

5．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠B₁A₁A=∠C₁A₁A=60°，AA₁=AC=4，AB=2，P，Q分別為棱AA₁，AC的中點(diǎn)．
（1）在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AM∥平面PQB₁交BC于點(diǎn)M，并寫(xiě)出作圖步驟，但不要求證明；
（2）若側(cè)面ACC₁A₁⊥側(cè)面ABB₁A₁，求直線A₁C₁與平面PQB₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中點(diǎn)M，連接AM，則AM∥平面PQB₁；
（2）作PN∥C₁A₁，則直線A₁C₁與平面PQB₁所成角=直線PN與平面PQB₁所成角，求出N到平面PQB₁的距離，即可求直線A₁C₁與平面PQB₁所成角的正弦值．

解答 解：（1）取BC中點(diǎn)M，連接AM，則AM∥平面PQB₁；
（2）作QO⊥平面ABB₁A₁，與A₁A延長(zhǎng)線交于O，則AO=1，QO=$\sqrt{3}$，
OB₁=$\sqrt{25+4-2×5×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{19}$，∴QB₁=$\sqrt{22}$，
∵B₁P=2，PQ=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠QPB₁=$\frac{12+4-22}{2×2\sqrt{3}×2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴sin∠QPB₁=$\frac{\sqrt{33}}{6}$，
∴${S}_{△PQ{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×\frac{\sqrt{33}}{6}$=$\sqrt{11}$，
作PN∥C₁A₁，則直線A₁C₁與平面PQB₁所成角=直線PN與平面PQB₁所成角，
∵${S}_{△PQN}=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，∴${V}_{{B}_{1}-PQN}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$=2，
設(shè)N到平面PQB₁的距離為h，則$\frac{1}{3}×\sqrt{11}h=2$，∴h=$\frac{3}{\sqrt{11}}$，
∴直線A₁C₁與平面PQB₁所成角的正弦值=$\frac{\frac{3}{\sqrt{11}}}{4}$=$\frac{3\sqrt{11}}{44}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．