Question

7．在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且a²-（b-c）²=bc，cosAcosB=$\frac{sinA+cosC}{2}$．
（1）求角A和角B的大小；
（2）若f（x）=sin（2x+C），將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位后又向上平移了2個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值，利用兩角和差的余弦公式化簡cosAcosB=$\frac{sinA+cosC}{2}$，可得B的值．
（2）利用函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）△ABC中，∵a²-（b-c）²=bc，∴a²-b²-c²=-bc，
∴cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
∵cosAcosB=$\frac{sinA+cosC}{2}$，∴2cosAcosB=sinA+cosC，∴cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+cos（$\frac{2π}{3}$-B），
即  cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+cos$\frac{2π}{3}$•cosB+sin$\frac{2π}{3}$sinB，即$\sqrt{3}$cosB=1+sinB，∴B=$\frac{π}{6}$．
綜上可得，$A=\frac{π}{3}，\;\;B=\frac{π}{6}$．
（2）∵C=$\frac{2π}{3}$-B=$\frac{π}{2}$，∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x，∴$g（x）=cos（2x-\frac{π}{6}）+2$，
令2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+π，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，
故函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查余弦定理，兩角和差的余弦公式，函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．