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已知數列{an}的前n項和Sn=（n2+n）•3n．
（Ⅰ）求
lim
n→∞
an
Sn
；（Ⅱ）證明：
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
＞3n．
分析：（1）由題意知
lim
n→∞
an
Sn
=
lim
n→∞
Sn-Sn-1
Sn
=
lim
n→∞
(1-
Sn-1
Sn
)=1-
lim
n→∞
Sn-1
Sn
，由此可知答案．
（2）由題意知，
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
=
S1
12
+
S2-S1
22
+…+
Sn-Sn-1
n2

=(
1
12
-
1
22
) S1 +(
1
22
-
1
32
) S2 +…+(
1
(n-1)2
-
1
n2
)Sn-1+
1
n2
Sn＞
1
n2
Sn，由此可知，當n≥1時，
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
＞3n．
解答：解：（1）
lim
n→∞
an
Sn
=
lim
n→∞
Sn-Sn-1
Sn
=
lim
n→∞
(1-
Sn-1
Sn
)=1-
lim
n→∞
Sn-1
Sn
lim
n→∞
Sn-1
Sn
=
lim
n→∞
n-1
n+1
•
1
3
=
1
3
，所以
lim
n→∞
an
Sn
=
2
3
（6分）
（2）當n=1時，
a1
12
=S1=6＞3；
當n＞1時，
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
=
S1
12
+
S2-S1
22
+…+
Sn-Sn-1
n2

=(
1
12
-
1
22
) S1 +(
1
22
-
1
32
) S2 +…+(
1
(n-1)2
-
1
n2
)Sn-1+
1
n2
Sn＞
1
n2
Sn=
n2+n
n2
•3n＞3n
所以，n≥1時，
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
＞3n．（12分）
點評：本題考查數列的極限問題，解題時要注意公式的靈活運用．
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．

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-1
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