Question

如圖，已知橢圓C：的左、右頂點為A、B，離心率為，直線x-y+l=0經(jīng)過橢圓C的上頂點，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線分別交于M，N兩點．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求線段MN長度的最小值；
（Ⅲ）當線段MN長度最小時，在橢圓C上是否存在這樣的點P，使得△PAS的面積為l？若存在，確定點P的個數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意（0，b）在直線x-y+1=0上，代入解得b．再利用，b²+c²=a²，解得a，c即可．
（II）設直線AS的斜率為k（k＞0），則直線AS：y=k（x+2），與聯(lián)立解得M，把直線y=k（x+2）與橢圓方程聯(lián)立即可解得S，進而得到直線BS的方程，即可得出點N的坐標即|MN|，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最小值；
（III）利用（II）可得k及點S的坐標，可得|AS|，可得AS方程為y=x+2，及P在與AS平行的直線y=x+m上．利用點到直線的距離公式及三角形的面積公式可得m，把直線y=x+m與橢圓的方程聯(lián)立即可得出交點P的坐標．
解答：解：（I）由題意（0，b）在直線x-y+1=0上，代入解得b=1．
又∵，b²+c²=a²，解得a=2，．
∴橢圓C的方程為．
（II）由（I）A（-2，0），B（2，0）．
設直線AS的斜率為k（k＞0），則直線AS：y=k（x+2），與聯(lián)立解得M．
由，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
∴，∴．
把x_S代入y=k（x+2）得，即S．
∴k_BS=．
∴直線BS的方程為，∴，

∴|MN|=|y_N-y_M|==，當且僅當k=1時取等號．
（III）由（II）可知：k=1時線段MN取得最小值，此時，=．
可得AS方程為y=x+2，P在與AS平行的直線y=x+m上．
∴點P到AS的距離等于兩平行線距離，∴△ASP的面積為1．
∴=1，
∴，解得或．
又由，得5x²+8mx+4m²-4=0，
△=（8m）2-4×5（4m²-4）=16（5-m²），
驗證可知：當時，．
∴P點存在，有兩個．
點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉化為方程聯(lián)立得到判別式及根與系數(shù)的關系、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．