設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx+(a-x)ln(a-x)(a>0).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)證明:對(duì)?x1,x2∈R+,都有x1lnx1+x2lnx2≥(x1+x2)[ln(x1+x2)-ln2];
(Ⅲ)若,證明:(i,n∈N*).
【答案】分析:(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的表達(dá)式,通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,然后求出最小值;
(Ⅱ)通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的最小值,然后證明:對(duì)?x1,x2∈R+,都有x1lnx1+x2lnx2≥(x1+x2)[ln(x1+x2)-ln2];
(Ⅲ)法一:直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,證明:(i,n∈N*).
方法二:直接利用,通過(guò)基本不等式與放縮法證明即可.
解答:解:(Ⅰ)a=1時(shí),f(x)=xlnx+(1-x)ln(1-x),(0<x<1),

令f'(x)=0,得
當(dāng)時(shí),f'(x)<0,f(x)在是減函數(shù),
當(dāng)時(shí),f'(x)>0,f(x)在是增函數(shù),
所以 f(x)在時(shí)取得最小值,即.  …(4分)
(Ⅱ)因?yàn)?nbsp;f(x)=xlnx+(a-x)ln(a-x),
所以 
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)有最小值.?x1,x2∈R+,不妨設(shè)x1+x2=a,則=(x1+x2)[ln(x1+x2)-ln2].                   …(8分)
(Ⅲ)(證法一)數(shù)學(xué)歸納法
ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),由(Ⅱ)知命題成立.
ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k( k∈N*)時(shí)命題成立,
即若,則
當(dāng)n=k+1時(shí),x1,x2,…,,滿足 
設(shè),
由(Ⅱ)得
=
=
由假設(shè)可得 F(x)≥-ln2k-ln2=-ln2k+1,命題成立.
所以當(dāng) n=k+1時(shí)命題成立.
由。ⅲ┛芍,對(duì)一切正整數(shù)n∈N*,命題都成立,
所以 若,則 (i,n∈N*).            …(13分)
(證法二)若,
那么由(Ⅱ)可得===-ln2n
…(13分)
(若用其他方法解題,請(qǐng)酌情給分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,不等式的證明方法數(shù)學(xué)歸納法、放縮法,考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
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  (2)設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)?i>M,xl,x2∈ M,且xlx2,求證|g(x1)-g(x2)|<|x1-x2|;

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