已知橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，若以F2為圓心，b－c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于(a－c)．

(1)證明：橢圓上的點到F2的最短距離為a－c；

(2)求橢圓的離心率e的取值范圍；

(3)設(shè)橢圓的短半軸長為1，圓F2與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k(k＞0)的直線l與橢圓相交于A、B兩點，若OA⊥OB，求直線l被圓F2截得的弦長S的最大值．

答案：
解析：

　　解：(1)假設(shè)橢圓上的任一點P(x0，y0)

　　則|PF2|2＝(x0－c)2＋y02由橢圓方程易得|PF2|2＝x－2cx0＋c2＋b2，顯然當x0＝a時，|PF2|最小值為a－c．4分

　　(2)依題意知當且僅當取得最小值時，取最小值

　　∴，又因為b－c＞0，

　　得；8分

　　(3)依題意Q點的坐標為，則直線的方程為，代入橢圓方程得

　　設(shè)，則，，；10分

　　又OA⊥OB，∴·＝0，

　　∴，即，直線的方程為

　　圓心到直線的距離

　　由圖象可知

　　；12分

　　由得∴；14分


練習冊系列答案
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4

1

2

4

2

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