Question

（2013•�？诙�模）過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)F₁作垂直于雙曲線漸近線的直線，以右焦點(diǎn)F₂為圓心，|OF₂|為半徑的圓和直線相切，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A．

  3

  2

• B．2
• C．

  3

• D．

  5

Answer 1

分析：設(shè)雙曲線的一條漸近線為l：y=-

b

a

x，過F₁作垂直l的直線切以右焦點(diǎn)F₂為圓心，|OF₂|為半徑的圓于M點(diǎn)．Rt△F₁F₂M中，利用三角函數(shù)的定義，算出∠F₁F₂M=60°從而得到直線l的傾斜角為120°，算出b=

3

a，由此即可算出該雙曲線的離心率．

解答：解：設(shè)雙曲線的一條漸近線為l：y=-

b

a

x，過F₁作垂直l的直線
切以右焦點(diǎn)F₂為圓心，|OF₂|為半徑的圓于M點(diǎn)，如圖所示
∵圓F₂與直線相切于點(diǎn)M，∴F₂M⊥F₁M且|F₂M|=c
∵Rt△F₁F₂M中，|F₁F₂|=2c
∴cos∠F₁F₂M=

|MF2|

|F1F2|

=

1

2

，可得∠F₁F₂M=60°
因?yàn)镸F₂與直線l平行，所以直線l：y=-

b

a

x的傾斜角為120°，可得-

b

a

=tan120°=-

3

∴b=

3

a可得c=

a2+b2

=2a
由此可得雙曲線的離心率為e=

c

a

=

2a

a

=2
故選：B

點(diǎn)評：本題給出過雙曲線左焦點(diǎn)F₁作垂直于雙曲線漸近線的直線與以右焦點(diǎn)F₂為圓心、|OF₂|為半徑的圓相切，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線的傾斜角和三角函數(shù)的定義等知識，屬于中檔題．