Question

已知點(diǎn)M是離心率是的橢圓C：（a＞b＞0）上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MA、MB交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k₁，k₂．
（I）若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求k₁•k₂的值；
（II）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1），且k₁+k₂=3，求證：直線AB過定點(diǎn)；并求直線AB的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根據(jù)橢圓的離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而求得a和b的關(guān)系，代入橢圓方程，設(shè)出A，B，M的坐標(biāo)，把A，M代入橢圓方程，兩式想減正好求得直線MA，MB的斜率之積結(jié)果為-
（II）根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)，可求得b，設(shè)出直線AB的方程，代入橢圓方程根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，根據(jù)判別式求得t的范圍，由k₁+k₂=3，求得A點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的關(guān)系，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線求得A點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的關(guān)系，然后聯(lián)立求得t關(guān)于k的表達(dá)式，代入直線方程，根據(jù)直線AB過定點(diǎn)，進(jìn)而把代入3k²+1＞t²中即可求得k的范圍．
解答：解：（I）由得，a²=3b²，橢圓方程為x²+3y²=3b²
設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），M（x，y）
由A，M是橢圓上的點(diǎn)得，x₁²+3y₁²=3b²①x²+3y²=3b²②
①-②得，（定值）
（II）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1），則b²=1，橢圓方程為x+3y²=3
顯然直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，代入橢圓方程得，
（3k²+1）x²+6ktx+3（t²-1）=0

△=36k²t²-12（3k²+1）（t²-1）＞0，
化簡得，3k²+1＞t²（*）
由k₁+k₂=3得，③，
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t④，
由③，④得，（t-1）（x₁+x₂）+（2k-3）x₁x₂=0，
化簡得，t=1（舍）或t=，
則直線AB的方程為
∴直線AB過定點(diǎn)
將．
∴直線AB的斜率k的取值范圍為∪（0，3）∪（3，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．涉及弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長（即應(yīng)用弦長公式）；涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化．