已知函數(shù)f（x）=log3（ax-b）的圖象過點(diǎn)A（2，1），B（5，2），
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）記an=3f（n）（n∈N*），是否存在正數(shù)k，使得(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥k
2n+1
對一切n∈N*均成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，說明理由．
分析：（1）由題意得
log3(2a+b)=1
log3(5a+b)=2
，解得 a=2，b=-1，即可求出f（x）=log3（2x-1），
（2）先根據(jù)條件求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；把(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥k
2n+1
對一切n∈N*均成立轉(zhuǎn)化為k≤
1
2n+1
（1+
1
a1
）（1+
1
a2
）…（1+
1
an
）恒成立；再通過構(gòu)造F（n）=
1
2n+1
（1+
1
a1
）（1+
1
a2
）…（1+
1
an
），利用其單調(diào)性求出F（n）的最小值即可求出k的最大值．
解答：解：（1）由題意得
log3(2a+b)=1
log3(5a+b)=2
，解得 a=2，b=-1，所以f（x）=log3（2x-1），
（2）因?yàn)?span id="eh1itmn" class="MathJye">an=3log3(2n-1)=2n-1．
假設(shè)存在正數(shù)k，使得(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥k
2n+1
對一切n∈N*均成立，
則k≤
1
2n+1
（1+
1
a1
）（1+
1
a2
）…（1+
1
an
）恒成立．
記F（n）=
1
2n+1
（1+
1
a1
）（1+
1
a2
）…（1+
1
an
）．
則F（n+1）=
1
2n+3
（1+
1
a1
）（1+
1
a2
）…（1+
1
an
）（1+
1
an+1
）．
∵
F(n+1)
F(n)
=
2n+2
(2n+1)(2n+3)
=
2(n+1)
4(n+1) 2-1
＞
2(n+1)
2(n+1)
=1．
∴．F（n+1）＞F（n），所以F（n）是遞增數(shù)列．
所以n=1時(shí)F（n）最小，最小值F（1）=
2
3
3
．
所以k≤
2
3
3
．即k的最大值為
2
3
3
．
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列知識和函數(shù)的綜合問題．解決第二問的關(guān)鍵在于利用對數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到an=3log3(2n-1)=2n-1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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