Question

加試題：已知曲線C：y=

1

x

(x＞0)，過(guò)P₁（1，0）作y軸的平行線交曲線C于Q₁，過(guò)Q₁作曲線C的切線與x軸交于P₂，過(guò)P₂作與y軸平行的直線交曲線C于Q₂，照此下去，得到點(diǎn)列P₁，P₂，…，和Q₁，Q₂，…，設(shè)|

PnQn

|=an，

2

|

QnQn+1

|=bn(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：b₁+b₂+…+b_n＞2ⁿ-2^-n；
（3）求證：曲線C與它在點(diǎn)Q_n處的切線，以及直線P_n+1Q_n+1所圍成的平面圖形的面積與正整數(shù)n的值無(wú)關(guān)．

Answer 1

分析：（1）本題由導(dǎo)數(shù)可求出過(guò)點(diǎn)Q_n的直線方程，即直線Q_nP_n+1的方程，進(jìn)而可以求出點(diǎn)Q_n與點(diǎn)Q_n+1之間橫坐標(biāo)的關(guān)系x_n+1=2x_n，從而可求出x_n的通項(xiàng)公式，由由于數(shù)列a_n與y_n相等，故將x_n通項(xiàng)公式代入函數(shù)解析式即可求解．
（2）借助（1）中的x_n和y_n與a_n的等式關(guān)系，可知Q_n和Q_n+1坐標(biāo)，由此求出b_n的通項(xiàng)公式，并借助不等式a²+b²≥2ab的推導(dǎo)公式2（a²+b²）≥a²+b²+2ab=（a+b）²的變式

2

a2+b2

≥a+b進(jìn)行放縮后，由等比數(shù)列求和公式即可證明其結(jié)論．
（3）由圖形可知，所求面積的圖形為不規(guī)則的曲邊三角形，故可結(jié)合定積分的幾何意義來(lái)借助定積分計(jì)算公式進(jìn)行面積的計(jì)算．

解答：解：（1）∵y=

1

x

，∴y/=-

1

x2

．
設(shè)Q_n（x_n，y_n），則直線Q_nP_n+1的方程為y-yn=-

1

xn2

(x-xn)，
令y=0，得x_n+1=x_n+x_n²y_n，∵x_ny_n=1，∴x_n+1=2x_n，
則數(shù)列{x_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，于是x_n=2^n-1．
從而an=|PnQn|=yn=

1

xn

=

1

2n-1

．
（2）∵Qn(

1

an

，an)，Qn+1(

1

an+1

，an+1)，
∴bn=

2

|

QnQn+1

|=

2

( 1 an - 1 an+1 )2+(an-an+1)2

=

2

(2n-1-2n)2+( 1 2n-1 - 1 2n )2

=

2

(2n-1)2+( 1 2n )2

．
利用2（a²+b²）≥（a+b）²（a＞0，b＞0），
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，得bn=

2

(2n-1)2+( 1 2n )2

＞2n-1+

1

2n

．
于是

n

i=1

bi＞(1+

1

2

)+(2+

1

22

)++(2n-1+

1

2n

)
=(1+2++2n-1)+(

1

2

+

1

22

++

1

2n

)
=

1-2n

1-2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=2n-

1

2n

．
（3）曲邊三角形Q_nP_n+1Q_n+1是由曲線y=

1

x

與直線P_n+1Q_n+1、切線Q_nP_n+1所圍成的圖形．于是S=

∫

xn+1 xn

[

1

x

-(-

x

xn2

+

2

xn

)]dx
=

∫

2xn xn

(

1

x

+

x

xn2

-

2

xn

)dx=[lnx+

x2

2xn2

-

2x

xn

]

2xn xn

=(ln2xn+2-4)-(lnxn+

1

2

-2)=ln2-

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)列，導(dǎo)數(shù)，定積分，不等式證明的綜合應(yīng)用的能力，綜合能力要求較強(qiáng)，尤其是第二小問(wèn)的證明，學(xué)生易在放縮的這步出現(xiàn)解題困難．