Question

已知雙曲線C：2x²－y²＝2與點P(1,2)．求過點P(1,2)的直線l的斜率k的取值范圍，使l與C只有一個交點；

Answer 1

當k＝±或k＝或k不存在時，l與C只有一個交點．

本試題主要是考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合運用。根據(jù)已知中的曲線方程和點P的坐標，設(shè)出直線方程，然后聯(lián)立方程組，進而結(jié)合方程有一個解，得到參數(shù)k的范圍和參數(shù)k的值。
解：設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－1)，
代入雙曲線C的方程，整理得
(2－k²)x²＋2(k²－2k)x－k²＋4k－6＝0(*)
當2－k²＝0，即k＝±時，直線與雙曲線的漸近線平行，此時只有一個交點．
②當2－k²≠0時，令Δ＝0，得k＝.此時只有一個公共點．
又點(1,2)與雙曲線的右頂點(1,0)在直線x＝1上，而x＝1為雙曲線的一條切線．
∴當k不存在時，直線與雙曲線只有一個公共點．
綜上所述，當k＝±或k＝或k不存在時，l與C只有一個交點．