Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2（a-1）x²-（a²+b）x-b，（a，b∈R），其圖象在點（-1，f（-1））處的切線方程為x-y+1=0
（1）求a、b的值；
（2）求函數(shù)x＞0的單調區(qū)間，并求f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)的運算法則可得：f′（x）=3x²-4（a-1）x-（a²+b），由于函數(shù)f（x）的圖象在點（-1，f（-1））處的切線方程為x-y+1=0，可得f（-1）=0，f′（-1）=1，解出即可．
（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值，并求出區(qū)間端點處的函數(shù)值進行比較即可得出最大值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-4（a-1）x-（a²+b），
∵函數(shù)f（x）的圖象在點（-1，f（-1））處的切線方程為x-y+1=0，
∴f（-1）=0，f′（-1）=1，
可得

-1-2(a-1)+(a2+b)-b=0 3+4(a-1)-(a2+b)=1

解得a=1，b=1．
∴a=1，b=1．
（2）由上知f（x）=x³-2x-1，則f′（x）=3x²-2
令f′（x）=0得x=±

6

3

，則x∈[-∞，-

6

3

]時，f（x）單增．
x∈[-

6

3

，

6

3

]時，f（x）單減．x∈[

6

3

，+∞]時，f（x）單增．＞
當x∈[-2，2]時，最大值只可能在f(-

6

3

)及f（2）處取得
而f(-

6

3

)=

4 6

9

-1＜f（2）=3，
∴0＜x＜2在區(qū)間[-2，2]上的最大值為f（2）=3．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究閉區(qū)間上的函數(shù)的單調性極值與最值、導數(shù)的幾何意義與切線的方程，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．