Question

已知函數(shù)，給出下列關(guān)于f（x）的性質(zhì)：
①f（x）是周期函數(shù)，3是它的一個(gè)周期；②f（x）是偶函數(shù)；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）與方程f（x）=1的解集相同
正確的個(gè)數(shù)為

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

D
分析：本題綜合的考查了函數(shù)的性質(zhì)，我們可以根據(jù)周期函數(shù)、函數(shù)奇偶性結(jié)合方程思想，特殊值代入驗(yàn)證法，對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，最后得到結(jié)論．
解答：當(dāng)T=3，則當(dāng)x為有有理數(shù)時(shí)，x+3也為有理數(shù)，則f（x+3）=f（x）；
則當(dāng)x為有無(wú)理數(shù)時(shí)，x+3也為無(wú)理數(shù)，則f（x+3）=f（x）；
故T為函數(shù)的周期，即f（x）是周期函數(shù)，3是它的一個(gè)周期，故①正確；
若x為有理數(shù)，則-x也為有理數(shù)，則f（-x）=f（x）；
若x為無(wú)理數(shù)，則-x也為無(wú)理數(shù)，則f（-x）=f（x）；
故f（x）是偶函數(shù)，故②正確
存在有理數(shù)0，使得f（x）=cosx=0成立
故方程f（x）=cosx有有理根，即③正確；
方程f[f（x）]=f（x）可等價(jià)變形為f（x）=1
故方程f[f（x）]=f（x）與方程f（x）=1的解集相同，故④正確
故選D
點(diǎn)評(píng)：要判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性，我們需要經(jīng)過(guò)兩個(gè)步驟：①判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②判斷f（-x）與f（x）的值是相等還是相反．反之，當(dāng)已知函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)時(shí)，要注意此時(shí)函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）與f（x）的值是相反或相等．要判斷一一個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)，則要判斷f（x+T）=f（X）是否恒成立．