Question

（2012•江蘇二模）已知數(shù)列{a_n}的前三項分別為a₁=5，a₂=6，a₃=8，且數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足Sn+m=

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2

(S2n+S2m)-(n-m)2，其中m，n為任意正整數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（2）求滿足Sn2-

3

2

an+33=k2的所有正整數(shù)k，n．

Answer 1

分析：（1）在等式Sn+m=

1

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(S2n+S2m)-(n-m)2中，分別令m=1，m=2，并相減，得an+2=2n-3+

S4-S2

2

，在等式Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2中，令n=1，m=2，得S3=

1

2

(S2+S4)-1，由此能夠求出求數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和S_n．
（2）記Sn2-

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an+33=k2，（*）n=1時，無正整數(shù)k滿足等式（*）n≥2時，等式（*）即為（n²+3n+1）²-3（n-10）=k²，由此進行分類討論，能求出滿足Sn2-

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2

an+33=k2的所有正整數(shù)k，n．

解答：解：（1）在等式Sn+m=

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(S2n+S2m)-(n-m)2中，
分別令m=1，m=2，得
Sn+1=

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2

(S2n+S2)-(n-1)2，①
Sn+2=

1

2

(S2n+S4)-(n-2)2，②
②-①，得an+2=2n-3+

S4-S2

2

，
在等式Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2中，
令n=1，m=2，得
S3=

1

2

(S2+S4)-1，
由題設(shè)知，S₂=11，S₃=19，
故S₄=29，
所以a_n+2=2n+6，（n∈N^*），
即a_n=2n+2，（n≥3，n∈N^*），
又a₂=6也適合上式，
故an=

5，n=1 2n+2，n≥2

，即Sn=n2+3n+1，n∈N*．
（2）記Sn2-

3

2

an+33=k2，（*）
n=1時，無正整數(shù)k滿足等式（*）
n≥2時，等式（*）即為（n²+3n+1）²-3（n-10）=k²，
①當n=10時，k=131．
②當n＞10時，則k＜n²+3n+1，
∵k²-（n²+3n）²=2n²+3n+31＞0，
∴k＞n²+3n，
從而n²+3n＜k＜n²+3n+1，
∵n，k∈N^*，∴k不存在，從而無正整數(shù)k滿足等式（*）．
③當n＜10時，則k＞n²+3n+1，
∵k∈N^*，∴k≥n²+3n+2，
從而（n²+3n+1）²-3（n-10）≥（n²+3n+2）²．
即2n²+9n-27≤0，
∵n∈N^*，∴n=1或2．
n=1時，k²=52，無正整數(shù)解；
n=2時，k²=145，無正整數(shù)解．
綜上所述，滿足等式（*）的n，k分別為n=10，k=131．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，考查滿足條件的正整數(shù)的求法．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意迭代法和分類討論思想的靈活運用．