Question

（2012•西城區(qū)二模）已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若

AF

=2

FB

，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意F（1，0），設(shè)直線AB方程為x=my+1．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得y²-4my-4=0．由此能夠求出直線AB的斜率．
（Ⅱ）由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于2S_△AOB．由此能求出四邊形OACB的面積最小值．

解答：（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：依題意F（1，0），設(shè)直線AB方程為x=my+1．            …（1分）
將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y²-4my-4=0． …（3分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以 y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4． ①…（4分）
因?yàn)?nbsp;

AF

=2

FB

，
所以 y₁=-2y₂．    ②…（5分）
聯(lián)立①和②，消去y₁，y₂，得m=±

2

4

． …（6分）
所以直線AB的斜率是±2

2

．     …（7分）
（Ⅱ）解：由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，
從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，
所以四邊形OACB的面積等于2S_△AOB．                     …（9分）
因?yàn)?nbsp;2S△AOB=2×

1

2

•|OF|•|y1-y2|…（10分）
=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

1+m2

，…（12分）
所以 m=0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4．      …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線斜率的求法，考查四邊形面積的最小值的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．