Question

10．已知y=Acos（ωx+φ）的圖象過點P（$\frac{π}{12}，0$），圖象上與點P最近的一個頂點是Q（$\frac{π}{3}，3$）
（1）求函數(shù)的解析式；    
（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；   
（3）求使y≥0的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用題意在求出A，通過周期求出ω，利用函數(shù)經(jīng)過的特殊點求出φ，即可求函數(shù)的解析式；
（2）通過余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間直接求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）利用余弦函數(shù)的值域，求使y≥0的x的取值范圍．

解答 解：（1）由函數(shù)圖象過一個頂點是（$\frac{π}{3}，3$）知A=3．
圖象過點P（$\frac{π}{12}，0$）圖象上與點P最近的一個頂點是Q（$\frac{π}{3}，3$）．
所以 $\frac{T}{4}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$，
∴T=π，ω=2．
將Q（$\frac{π}{3}$，3）代入y=3cos（2x+φ），由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：2×$\frac{π}{3}$+φ=2π，
得φ=$\frac{4π}{3}$．
∴函數(shù)解析式為y=3cos（2x+$\frac{4π}{3}$）．（4分）
（2）由2kπ≤2x+$\frac{4π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$． 
 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間：[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ-$\frac{5π}{12}$]．k∈Z．（8分）
（3）因為y≥0，
所以3cos（2x+$\frac{4π}{3}$）≥0，
可得 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{4π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：x∈[kπ-$\frac{11π}{12}$，kπ-$\frac{5π}{12}$]．k∈Z．（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應用，考查計算能力，考查了數(shù)形結合思想，屬于中檔題．