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若點M是△ABC所在平面內的一點，且滿足
AM
=
3
4
AB
+
1
4
AC
，則△ABM與△ABC面積之比等于
1：4
1：4
．
分析：欲求△ABM的面積與△ABC面積之比，而這兩個三角形同底只需求高之比即可，過C作AB的垂線交AB與點D，過點M作AB的垂線交AB與點E，取AH=
1
4
AC，AN=
3
4
AB，過點H作AB的垂線交AB與點F，可得S△ABM：S△ABC=ME：CD=HF：CD=AH：AC，得到結論．
解答：解：∵
AM
=
3
4
AB
+
1
4
AC
，
∴M，B，C 三點共線
過C作AB的垂線交AB與點D，過點M作AB的垂線交AB與點E
取AH=
1
4
AC，AN=
3
4
AB，過點H作AB的垂線交AB與點F
∵
AM
=
3
4
AB
+
1
4
AC
，
∴
AM
=
AH
+
AN
即AHMN構成平行四邊形，則HF=ME
而S△ABM：S△ABC=ME：CD=HF：CD=AH：AC=
1
4

∴△ABM的面積與△ABC面積之比為1：4．
故答案為：1：4．
點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，解題的關鍵利用同（等）底三角形面積這比等于高之比，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若點M是△ABC所在平面內一點，且滿足
AM
=
3
4
AB
+
1
3
AC
，則S△ABM：S△ABC等于（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

若點M是△ABC所在平面內的一點，且滿足5
AM
=
AB
+3
AC
，則△ABM與△ABC的面積比為
3
5
3
5
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若點M是△ABC所在平面內的一點,且滿足AM=+,則△ABM與△ABC面積之比等于

A.                B.                C.                D.

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年北京市朝陽區(qū)高一（上）期末數學試卷（解析版） 題型：選擇題

若點M是△ABC所在平面內一點，且滿足，則S△ABM：S△ABC等于（ ）
A．
B．
C．
D．

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