Question

9．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是${a_n}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$，（n∈N^*），記b_n=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
（1）寫(xiě)出數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)；
（2）猜想數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，代值計(jì)算即可，
（2）猜想，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答 解：（1）${b_1}=\frac{3}{4}$，${b_2}=\frac{4}{6}$，${b_3}=\frac{5}{8}$
（2）猜想：${b_n}=\frac{n+2}{2（n+1）}$
①n=1時(shí)，${b_1}=\frac{1+2}{4}=\frac{3}{4}$
②假設(shè)n=k時(shí)，${b_k}=\frac{k+2}{2（k+1）}$
當(dāng)n=k+1時(shí)b_k+1=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_k）（1-a_k+1）
=b_k（1-a_k+1）=$\frac{k+2}{2（k+1）}$（1-$\frac{1}{（k+2）^{2}}$）
=$\frac{k+2}{2（k+1）}$•$\frac{{k}^{2}+4k+3}{（k+2）^{2}}$=$\frac{（k+2）（k+1）（k+3）}{2（k+1）（k+2）^{2}}$=$\frac{k+3}{2（k+2）}$
綜合①②：${b_n}=\frac{n+2}{2（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，是解題的難點(diǎn)．