Question

【題目】已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）判斷函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；

（2）若， ，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）對求導可得，根據(jù)的取值，分， ， 和四種情況討論函數(shù)的單調性，然后得到極值點的個數(shù)．（2）由題意可得對恒成立．然后分， 和三種情況分別求解，通過分離參數(shù)或參數(shù)討論的方法可得的取值范圍．

試題解析：

（1）∵，

∴，

當時， 在上單調遞減，在上單調遞增，

有1個極值點；

當時， 在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

有2個極值點；

當時， 在上單調遞增，此時沒有極值點；

當時， 在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

有2個極值點；

綜上可得：當時， 有1個極值點；當且時， 有2個極值點；當時， 沒有極值點．

（2）由得.

①當時，由不等式得，

即對在上恒成立.

設，則.

設，則.

， ，

在上單調遞增，

，即，

在上單調遞減，在上單調遞增，

，

.

②當時，不等式恒成立， ；

③當時，由不等式得.

設，則.

設，則，

在上單調遞減，

.

若，則，

在上單調遞增，

.

若， ，

，使得時， ，即在上單調遞減，

，舍去.

.

綜上可得， 的取值范圍是.