Question

（2012•吉林二模）已知圓C₁的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線(xiàn)l₁：x-y-2

2

=0相切．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，AN⊥x軸于N，若動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足：

OQ

=m

OA

+(1-m)

ON

，（其中m為非零常數(shù)），試求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程C₂；
（3）在（2）的結(jié)論下，當(dāng)m=

3

2

時(shí)，得到曲線(xiàn)C，與l₁垂直的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于B、D兩點(diǎn)，求△OBD面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線(xiàn)l₁距離為d，則d=

|-2 2 |

12+12

=2．由此能求出圓的方程．
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x軸于N，N（x₀，0）由題意，（x，y）=m（x₀，y₀）+（1-m）（x₀，0），所以

x=x0 y=my0

，由此能求出動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．
（3）m=

3

2

時(shí)，曲線(xiàn)C方程為

x2

4

+

y2

3

=1，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=-x+b．設(shè)直線(xiàn)l與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1交點(diǎn)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯(lián)立方程

y=-x+b 3x2+4y2=12

，得7x²-8bx+4b²-12=0．由此能求出△OBD面積的最大值．

解答：解：（1）設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線(xiàn)l₁距離為d，則d=

|-2 2 |

12+12

=2，2分
圓C₁的方程為x²+y²=4，2分
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x軸于N，N（x₀，0）
由題意，（x，y）=m（x₀，y₀）+（1-m）（x₀，0），所以

x=x0 y=my0

，2分
即：

x0=x y0= 1 m y

，將A(x，

1

m

y)代入x²+y²=4，得

x2

4

+

y2

4m2

=1，3分
（3）m=

3

2

時(shí)，曲線(xiàn)C方程為

x2

4

+

y2

3

=1，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=-x+b
設(shè)直線(xiàn)l與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1交點(diǎn)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯(lián)立方程

y=-x+b 3x2+4y2=12

得7x²-8bx+4b²-12=0，1分
因?yàn)椤?48（7-b²）＞0，解得b²＜7，且x1+x2=

8b

7

，x1x2=

4b2-12

7

，2分
∵點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d=

|b|

2

，BD=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 6

7

7-b2

．
∴S△OBD=

1

2

•

|b|

2

•

4 6

7

7-b2

=

2 3

7

b2(7-b2)

≤

3

，2分
（當(dāng)且僅當(dāng)b²=7-b²即b2=

7

2

＜7時(shí)取到最大值），1分
∴△OBD面積的最大值為

3

．1分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程和橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，具體涉及到圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用、直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．